|
Задачная база >> Разное >> Задачник первого-второго года обучения >> Комбинаторика | Убрать решения |
|
Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Комбинаторика |
|
Задача 2: Сколько способов расставить n человек в ряд? Решение: n!
Задача 3: Сколько способов выбрать a) двух человек из десяти?
b) трех человек из десяти?
c) k человек из n?
(Ответ: это число
Задача 4: Доказать, что .
Задача 5: Сколько способов сделать бусы из a) семи разных бусинок b) пяти белых и двух черных бусинок (Бусы – это окружность, на которую насажены бусины. Ее можно поворачивать, но нельзя переворачивать). Решение: а) 6! = 720; б) 3
Задача 6: Доказать, что a) по формуле b) с помощью комбинаторных рассуждений.
Задача 7: Доказать, что .
Задача 8: Сколько способов расставить на полку 3 книги одного вида, 5 – другого и 8 – третьего?
Задача 9: p – простое число. Доказать, что делится на p.
Задача 10: Сколько способов разбить 12 человек на две группы по 12 и 5 человек так, чтобы:
a) два данных человека оказались в разных группах.
b) в одной группе?
Решение: а) ; b)Задача 11: a) Доказать, что число способов выбрать k человек из n и выбрать из них главного равно .
b) Доказать, что то же самое число равно .
Задача 12: Сколько способов расставить 20 разных книг по 5 полкам? Решение: 5²º
Задача 13: Сколько способов расставить 25 разных книг по 5 полкам так, чтобы на каждой было не менее одной книги?
Задача 14: Сколько способов расставить 25 одинаковых книг по 5 полкам (некоторые полки могут оказаться пустыми)? Решение:
Задача 15: Сколько способов расставить на доске 8 × 8 a) 8 ладей b) 32 коня так, чтобы они не били друг друга? Решение: а) 8!; б) 2.
Задача 16: Сколько всего 6-значных чисел
a) без единиц в записи.
b) по крайней мере с одной единицей в записи.
Решение: а) 8 95; b) 9 105 – 8 95Задача 17: Сколько существует семизначных чисел, у которых
a) все цифры разные
b) любые две соседних цифры разные
c) есть две одинаковых цифры.
Решение: а) ; б)Задача 18: Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы мужчины и женщины чередовались? Решение: 2 5! 5!
Задача 19: В классе 30 человек. Сколько способов разбить класс на две группы и в каждой выбрать старосту? Решение:
Задача 20: Сколько 7-значных чисел, в которых
a) каждая цифра больше предыдущей?
b) каждая цифра не меньше предыдущей?
Решение: а) ; б) ;Задача 21: Сколько способов разбить 15 мужчин и 15 женщин на пары для танцев? Решение: 15!
Задача 22: Сколько разных слов можно составить из слова:
a) ПЕРЕЕЗД b) МАТЕМАТИКА c) АА … АББ … ББ (n букв «А», m букв «Б")
Решение: а) ; b) ; c)Задача 23: Доказать тождества:
a) .
b) .
c) .
Задача 24: Сколько способов прочитать слово "ТРЕУГОЛЬНИК", двигаясь вправо и вниз:
а)
б)
Решение: a) 2¹º; б)
Задача 25: a) Круг разбит на простое число p секторов. Сколько способов раскрасить их в n цветов (раскраски, совмещающиеся при повороте, считаются одинаковыми).
b) Вывести из пункта a) малую теорему Ферма: np – n делится на p.
Решение: .Задача 26: a,b – натуральные числа, a ≥ b – 1. Сколько способов расставить a белых и b черных фишек так, чтобы черные не стояли рядом? Решение:
Задача 27: Доказать, что .
Задача 28: Пусть p – простое число. Доказать, что:
a) если k не делится на p, то делится на p;
b) (a + b)p ≡ ap + bp (mod %)%p;
c) (a + b + … + d)p ≡ ap + bp + … + dp (mod %)%p.
d) Вывести из пункта c) малую теорему Ферма: ap ≡ a (mod %)%p.
Задача 29: На окружности отмечено 11 точек.
a) Сколько существует многоугольников с вершинами в отмеченных точках?
b) Каких из них больше: содержащих данную отмеченную точку или остальных?
Решение: а)Задача 30: Сколько способов выбрать:
a) 3 пары из 100 человек?
b) n пар из 2n человек?
Решение: а) ; b) .Задача 31: Каких 6-значных чисел больше: представляющихся в виде произведения двух трехзначных или остальных? Решение: Остальных
Задача 32: На дороге длиной 999 километров стоят 1000 километровых столбов, на каждом из которых написаны два числа – расстояние до начала и до конца дороги. Сколько среди этих столбов таких, на которых числа записаны только двумя различными цифрами? Решение: 40
Задачная база >> Разное >> Задачник первого-второго года обучения >> Комбинаторика | Убрать решения |