Задача 1: Найдите наименьшее натуральное число, которое увеличивается в целое число раз (большее 1) при переносе его последней цифры в начало.

Решение: Аналогично задаче 12 запишем , 1 < k < 10, откуда (k • 10ⁿ – 10^n – 1)a_n +  …  + (k • 10 – 1)a₁ = (10ⁿ – k)a₀ и, следовательно, . Наименьшее n, при котором это возможно равно 5: при a₀ = 3;6;9; при a₀ = 7. Находим соответствующие числа: 076923 • 4 = 307692, 153846 • 4 = 615384, 230769 • 4 = 923076, 142857 • 5 = 714285. Первый вариант некорректен, а из остальных наименьшем является число 142857.

Задача 2:

Задача 3: Докажите, что .

Решение: при 0 < x < 1. Значит .

Задача 4: Докажите, что уравнение x⁴ + 5x³ – x² – 3x – 1 = 0 имеет не более одного положительного корня.

Решение: Если положительных корней два или четыре, то f(0) должно быть положительным, что не так. Докажем, что положительных корней не может быть три. Как известно, любой многочлен четвёртой степени можно представить в виде произведения двух квадратных трёхчленов с вещественными коэффициентами. Тогда

У одного из трёхчленов (пусть у первого) оба корня положительны, то есть c > 0,b < 0. Приравнивая коэффициэнты при соответствующих степенях x произведения трехчленов и исходного многочлена, получаем . Пользуясь тем, что знаки b и c известны, заключаем из первого уравнения, что d > 0, а из третьего, что d < 0. Пришли к противоречию, которое и доказывает наше утверждение.

Задача 5: Докажите, что если a, b – длины катетов, а c – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, то ab(a + b + c) < 1,25c³.

Решение: Воспользовавшись тем, что и , получаем . Остаётся проверить, что .