Задача 1: Функция y = f(x) определена при всех вещественных значениях переменной, и при всех x выполнено равенство 2 • f(x) + f(1 – x) = 3x². Найдите f(5).

Решение: Запишем данное равенство для x = k и x = 1 – k:

Решая систему, находим, что f(k) = k² + 2k – 1; f(5) = 34.

Задача 2: M – середина медианы AD треугольника ABC, имеющего площадь S. Прямая BM пересекает сторону AC в точке F. Найдите площадь треугольника AMF.

Решение: ; . Пусть S_AMF = x. Тогда , , , откуда и  – искомая площадь.

Задача 3:

Задача 4: Две окружности пересекаются в точках A и B; M и N – точки, диаметрально противоположные A в первой и второй окружностях. К окружностям проведены касательные в точке A. Касательная к первой пересекает вторую в точке C, а касательная ко второй пересекает первую в точке D. Докажите, что треугольники ACM и ADN равновелики.

Решение: Треугольники AMD и ANC подобны, так как  ∠ MDA =  ∠ ACN = 90   (как опирающиеся на диаметры),  ∠ MAD =  ∠ CAN. Следовательно, , откуда получаем, что , а это и есть отношение площадей прямоугольных треугольников MAC и DAN. Значит, эти треугольники равновелики.

Задача 5: Решить в целых числах: (x + 1)(y² – x² – 4) = x².

Решение: При x + 1 = 0 равенство невозможно. Значит , поскольку числа x и x + 1 взаимно просты, это возможно лишь при x + 1 =  ± 1. Отсюда находим решения уравнения: x = 0,y = 2; x = 0,y =  – 2; x =  – 2,y = 2; x =  – 2,y =  – 2.