Задача 32:

В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине A, равным 36 градусов, проведена биссектриса BK. Докажите, что BK = BC.

Решение:

Так как  ∠ C = 72, и  ∠ B = 72, то величина угла KBC равна 36 градусов и значит, величина угла CKB – 72 градуса. Следовательно, треугольник KBC – равнобедренный и BK = BC.

Задача 33:

Докажите, что сумма углов в вершинах пятиугольной звезды равна 180 градусов.

Решение:

180 =  ∠ EBD +  ∠ BED +  ∠ BDE =  ∠ E +  ∠ B +  ∠ D +  ∠ FED +  ∠ FDE. Но  ∠ FED +  ∠ FDE = 180 –  ∠ EFD = 180 –  ∠ CFA =  ∠ A +  ∠ C. Значит, 180 =  ∠ E +  ∠ B +  ∠ D +  ∠ A +  ∠ C, ч.т.д.

Задача 34:

Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть перпендикулярными?

Решение:

Нет, иначе сумма этих углов будет равна 180.

Задача 35:

Хорды AB и CD окружности S параллельны. Докажите, что AC = BD.

Задача 36:

Три угла вписанного четырехугольника относятся как 2:3:4. Найдите эти углы.

Задача 37:

В треугольнике ABC  ∠ A = 90. Проведены медиана AM, биссектриса AK и высота AH. Докажите, что  ∠ MAK =  ∠ KAH.

Решение:

Обозначим угол BCA через  α . Тогда, так как AM = MC, то  ∠ MAC =  α  и значит,  ∠ MAK = 45 –  α  (надо, как теперь видно, взять тот из углов треугольника, который меньше 45 градусов). Далее,  ∠ ABC = 90 –  α  и значит,  ∠ BAH =  α . Следовательно,  ∠ KAH = 45 –  α  =  ∠ MAK, ч.т.д.

Задача 38:

В квадрате ABCD O – точка пересечения окружности с центром A и радиусом AB и серединного перпендикуляра к BC, более близкая к C. Найдите величину угла AOC.

Решение:

Угол AOD равен, очевидно, 60. Далее, треугольник DOC – равнобедренный и мы получаем  ∠ DOC = 75. Следовательно, ответ:  ∠ AOC = 135.

Задача 39:

Две окружности пересекаются в точках A и B. C –точка, диаметрально противоположная к A на первой окружности, D – на второй. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой.

Решение:

Углы ABC и ABD равны 90 и значит,  ∠ CBD = 180, ч.т.д.