Задача 1: а) У скольких двузначных чисел все цифры чётные? б) А у скольких трёхзначных?

Решение: (а) оформить также в виде таблицы. Про (б) – 3 способа: разветвленное дерево, таблица, где строки занумерованы парами и трёхмерная таблица

Задача 2: а) У скольких двузначных чисел все цифры разные? б) А у скольких трёхзначных? в) А у скольких 11-значных?

Решение: Дополнительно можно изобразить все числа в виде таблицы, и получить второе решение с вычитанием лишних случаев (грубо говоря, квадрат минус диагональ).

Задача 3: На окружности отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета; б) одинакового цвета?

Решение: Очень полезно разобрать два решения: с деревом перебора и с таблицей. Отметить формулу сложения случаев.

Задача 4: В обычном домино на половинках доминошек бывает от 0 до 6 точек. Всего в комплекте 28 доминошек. А сколько доминошек будет в комплекте, где на половинке возможно от 0 до 13 точек?

Решение: 105. Поскольку задача двухходовая, часто дают неправильные ответы. В этом случае рекомендовать проверить способ решения на обычном домино. При разборе обязательно оформить рассуждения в виде таблицы.

Задача 5: Сколькими способами можно разменять 50 руб монетами в 1 и 2 руб?

Решение: 26. Каждый способ однозначно задается числом 2-рублевых монет, а их может быть от 0 до 25.

Задача 6: Сколькими способами можно поставить на доску черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Если черный король стоит в углу доски (4 поля), то белого короля на доску можно поставить 60 способами. Если черный король стоит на границе доски (но не в углу – 6 × 4 = 24 поля), то белого короля можно поставить на любое из 58 «незапрещенных» полей. Для всех остальных (их 36) положений черного короля имеется ровно 55 «незапрещенных» положений белого короля. Итого получаем 4 × 60 + 24 × 58 + 36 × 55 = 3612 способов.

Задача 7: В детский сад привезли кубики, красные и синие. Каждому из 100 детей выдали по 3 кубика, и каждый ребенок построил из своих кубиков башню. Какое наибольшее число различно раскрашенных башен могло получиться? А если выдали по 4 кубика? По 5? По 6? По 7?

Решение: 8, 16, 32, 64, 100. Полезно обратить внимание на последний ответ и причины его появления в ряду степеней двойки.

Задача 8: Сигнальное устройство состоит из пяти одноцветных лампочек, расположенных в ряд. Сколько различных сигналов можно подать с его помощью? А сколько, самое меньшее, надо взять лампочек, чтобы можно было подать 200 различных сигналов? А 1000 сигналов?

Решение: 32 сигнала. Для 200 сигналов нужно взять 8 лампочек, для 1000 сигналов – 10 лампочек.

Задача 9: Назовем число забавным, если все его цифры делятся на 4. Сколько забавных чисел среди четырёхзначных? А среди шестизначных?

Решение: 54 = 2 × 3 × 3 × 3; 486 = 2 × 3⁵.

Задача 10: Как известно, компьютер работает с двоичными кодами, которые представляют собой записи, составленные из нулей и единиц (например, 11001011). Количество знаков в коде называется его длиной. Сколько разных символов можно закодировать двоичными кодами длины 5? Длины 6?

Задача 11: Во рту у марсианина есть 10 гнезд для зубов. В каждом гнезде либо есть зуб, либо его нет. Известно, что любые два марсианина отличаются набором зубов (т.е., если взять любых двух, то найдется гнездо, в котором у одного есть зуб, а у другого нет). Каково наибольшее возможно число марсиан?

Решение: Закодируем марсиан двоичными числами – ведь для каждого зуба имеется ровно две возможности: либо этот зуб есть, либо его нет. Таким образом, общее число марсиан не больше, чем число «кодировок» зубов, которое равно 2¹º = 1024.

Задача 12: Сигнальный флажок состоит из шести горизонтальных полосок белого, синего или красного цвета, причём верхняя полоска всегда синяя, а соседние полоски – разноцветные. Сколько бывает разных сигнальных флажков?

Решение: 32. Для каждой следующей полоски есть ровно две возможности! Придумайте способ их кодирования числами 0 и 1. Учтите, что таких способов существует не один, а несколько (а кстати, сколько??)

Задача 13: Назовем две цифры близкими, если они отличаются на 1. Кроме того, будем считать близкими цифры 0 и 9. Сколько существует различных десятизначных чисел, у которых любые две соседние цифры – близкие?

Решение: 9 • 2⁹.

Задача 14: Из Манчестера в Ливерпуль ведут два шоссе с односторонним движением, пересеченные десятью проселками (см. рисунок). Машина выезжает из М в Л по одному из шоссе, и, доезжая до любой развилки, может либо свернуть на проселок, либо не сворачивать. Свернув, она проезжает проселок до конца и продолжает опять по другому шоссе (по тем же правилам). Сколькими разными способами можно проехать из Манчестера в Ливерпуль?

Задача 15: Имеется 10 различных книг. Сколькими различными способами можно выбрать из них одну или несколько книг для подарка?

Решение: «Одну или несколько» – значит, любое число, кроме нуля книг. Добавим еще и возможность подарить 0 книг – тогда общее число способов подарить книги будет равно 2¹º (объясните, почему?). Можно напомнить о связи этой задачи с задачей о «липовых» чашках-ложках-блюдцах.