Задача 1: Сколькими способами Алексей Николаевич может построить 50 шестиклассников в шеренгу?

Задача 2: Сколько сторон и диагоналей у 50-угольника?

Задача 3: Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером 50 × 50 пятьдесят ладей, не бьющих друг друга?

Решение: 50! Это пара к задаче 1 (а также 7 и 8).

Задача 4: Сколькими способами победитель «Поля чудес» может выбрать два приза из 50 имеющихся?

Решение: 50 × 49/2. Это пара к задаче 2. Каждый выбранный приз – вершина 50-угольника, а пара выбранных призов – это сторона или диагональ.

Задача 5: Сколькими способами можно выдать 50 шестиклассникам два наряда: на уборку апельсиновых корок и дежурство в столовой?

Задача 6: Сколькими способами можно из 50 участников собрания выбрать председателя и секретаря?

Решение: 50 × 49. Это пара к задаче 5. Дадим председателю наряд на уборку корок, а секретарю – наряд на столовую. И наоборот.

Задача 7: Есть два письма и 50 разных конвертов. Сколькими способами можно упаковать письма в конверты?

Решение: 50! Это пара к задаче 3. Кодировка такая: по горизонтали разложим письма, а по вертикали – конверты. Будем ставить ладью на пересечении горизонтали и вертикали тогда и только тогда, когда письмо, соответствующее горизонтали, кладем в конверт, соответствующий вертикали.

Задача 8: Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 шестиклассникам?

Решение: 50! Это пара к задаче 1 (а также задачам 2 и 7). Тот, кто получил первую конфету, встанет в шеренгу самым первым, получивший вторую конфету – вторым, и т.д.

Задача 9: Сколькими способами можно расставить в таблице 5 × 10 числа от 1 до 50?

Решение: 50! Это пара к задаче 8 (а значит, и к задаче 1). Занумеруем конфетки числами от 1 до 50, а шестиклассников посадим в клетки таблицы 6 × 8. Дальнейшее очевидно.

Задача 10: Сколькими способами можно отметить в таблице 5 × 10 две клетки?

Решение: это еще одна пара к задаче 2 (и к задаче 4). Расположим в таблице 5 × 10 точки, соответствующие 50 вершинам многоугольника. Отрезок, соединяющий пару вершин, – это либо сторона, либо диагональ. Нам нужно посчитать и те, и другие.

Задача 11: а) В левом верхнем углу доски 10 × 8 стоит ладья. Двое по очереди ходят ею, причём разрешается ходить только вправо или вниз. Выигрывает тот, кто ставит ладью в правый нижний угол. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер?

б) В одной кучке лежит 7 спичек, в другой – 9. За один ход разрешается взять любое число спичек, но только из одной кучки. Выиграл тот, кто взял последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Решение: Заметим, что ладья может сдвинуться всего вправо на 9 клеток, а вниз – на 7. Будем кодировать каждый такой сдвиг взятием спичек из кучки. (А когда сдвинуться нельзя – это значит, что кучка опустела!) Выигрышная стратегия: сначала взять 2 спички из кучки-9 (встать ладьей на диагональ), а затем повторять ходы противника в другой кучке (возвращать ладью на диагональ).

Задача 12: а) В городе Колоколамске живут 10 шпионов по кличкам Нелли, Одри, Долли, Тилли, Чарли, Петя, Штирлиц, Супер, Вилли, Деловой. Нелли шпионит за Супером, Одри – за Чарли и Тилли, Долли – за Одри, Штирлицем и Вилли, Тилли – за Петей и Деловым, Чарли – за Долли и Деловым, Петя – за Штирлицем и Долли, Штирлиц – за Тилли и Петей, Супер – за Нелли и Вилли, Вилли – за Чарли, Деловой – за Одри и Вилли. Какое наибольшее число шпионов сможет выстроиться в очередь так, чтобы перед каждым, кроме первого, стоял тот, за кем он шпионит?

б) Какое наибольшее количество различных цифр можно выписать в ряд так, чтобы, подчеркнув любые две соседних, мы получили двузначное число, делящееся на 7 или 13? Число 07 тоже считается двузначным.

Решение: Все 10. Например, 0784291356. Теперь к задаче 12a. Закодируем шпионов цифрами (Нелли = Ноль, Одри = Один, и т.д.) Шпионство обозначим стрелочкой:

0 → 7;

1 → 4,3;

2 → 1,6,8;

3 → 5,9;

4 → 2,9;

5 → 6,2;

6 → 3,5;

7 → 0,8;

8 → 4;

9 → 1,8.

Обратим внимание на то, что выписаны все «двузначные числа», которые делятся на 7 или 13. Дальше остается решить любую из задач.

Задача 13: а) Летучая ладья ходит как обычная, только не может становиться на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске 4 × 4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?

б) Хромая ладья ходит как обычная, но только на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске 4 × 4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?

Решение: Поля доски для летучей ладьи и поля доски для хромой ладьи находятся в таком соответствии:

(Если на левом рисунке может сделать ход хромая ладья, то на правом ход между аналогичными клетками будет у летучей ладьи. И наоборот: для каждого хода летучей ладьи на правом рисунке будет существовать соответствующий ход хромой ладьи на левом.)