Задача 1: а) Придумайте такие 3 различных натуральных числа, чтобы каждое делило сумму остальных; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Решение: а), б) 100, 200, 300. в) Если уже построен набор из n чисел, то к ним можно добавить (n + 1)-ое число – их сумму, т.к. она делится на каждое из этих n чисел и ее прибавление к набору из (n – 1)-го числа не изменяет их делимости на оставшееся. Таким образом, получаем, например, ряд 1, 2, 3, 6, 12, 24, и т.д.

Задача 2: а) Придумайте 3 различных натуральных числа, чтобы каждые два имели общий делитель, больший 1, но при этом чтобы НОД всех трёх чисел был равен 1; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Задача 3: Разрежьте квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых) а) n = 4; б) n = 7; в) n = 10; г) n = 1999.

Задача 4: В мешке лежит 64 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 23 кг гвоздей?

Решение: Мы можем разделить 64 кг на 2 группы по 32 кг, затем одну из них – на 2 группы по 16, затем одну из них – на 2 группы по 8 и т.д. Как известно, 23 = 1 + 2 + 4 + 16.

Задача 5: Давным-давно в СССР имелись в обращении 3-копеечные и 5-копечные монеты. Докажите, что можно было набрать любую сумму более 7 копеек только такими монетами.

Решение: Если число делится на 3, набираем требуемую сумму монетами по 3 копейки – так можно получить 3, 6, 9, 12,… Если число дает остаток 2 по модулю 3, то берем одну пятикопеечную и необходимое количество трёхкопеечных – получаем 5, 8, 11, и т. д. Если число дает остаток 1 по модулю 3, берем 2 монеты по 5 и остальное дополняем трёхкопеечными – получаем 10, 13, 16,…Видно, что можно получить любое число, кроме 1, 2, 4 и 7.

Задача 6: Докажите, что если ввести в обращение монеты достоинством в 5 и 26 копеек, то можно будет уплатить без сдачи любую сумму, начиная с 1 рубля.

Решение: Заметьте, что 100 = 5 • 20, 101 = 26 + 5 • 15, 102 = 2 • 26 + 5 • 10, 103 = 3 • 26 + 5 • 5, 104 = 4 • 26.

Задача 7: Представьте число 1 в виде суммы а) трёх б) четырёх в) десяти различных дробей с числителем 1.

Решение: а) 1/2 = 1/3 + 1/6. Дальнейшие примеры получается следующим образом: берем самую маленькую дробь, и если ее знаменатель – чётное число, равное 2a, то разбиваем эту дробь на две 1/2a = 1/3a + 1/6a. Замечаем, что в итоге получаем наименьшую дробь с чётным знаменателем (6a), то есть процесс можно продолжить.

Задача 8: Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку шахматной доски, после этого он должен перекрасить ее в противоположный цвет. Маляр ставится на угловую клетку доски, где все клетки белые. Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.

Решение: Рассмотрим путь, проходящий по всем клеткам доски. Пустим маляра вперед по этому пути. Пусть маляр оглядывается по прохождении каждой клетки и смотрит, в нужный ли цвет она покрашена. Если в нужный – все нормально, идем дальше. Иначе возвращаемся назад, перекрашиваем клетку и снова идем вперед. Так мы сможем покрасить все, кроме последних двух клеток – но с ними можно разобраться отдельно.

Есть и другие способы решения. Например, можно заметить, что маляр может сделать такую операцию: перекрасить одновременно две клетки – ту на которой он стоит, и любую другую по своему выбору (для этого ему достаточно сходить в приглянувшуюся ему клетку и вернуться обратно по тому же маршруту). Для того, чтобы покрасить доску в шахматном порядке, ему достаточно применить эту операцию 32 раза.

Задача 9: При каких натуральных n можно разрезать квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых)?

Решение: Легко привести примеры для n = 1, 4, и всех, начиная с 6. Остается 2, 3 и 5. Невозможность разрезания на 2 и 3 очевидна. Для n = 5 устраиваем перебор: 4 квадрата должны располагаться в углах, пятый обязан примыкать к какой-то стороне, дальше – просто.

Задача 10: Расставьте различные натуральные числа в таблицу 2 × 3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).

Решение: Сначала расставляем любые числа так, чтобы произведения в столбцах были равны. Затем, если умножить все числа в одной строке на любое натуральное число, то произведения останутся равными.

Задача 11: а) Может ли свеча внутри пустой многоугольной комнаты не освещать полностью ни одну из стен? б) Существует ли многоугольник и точка вне него, из которой ни одной стороны не видно полностью?

Задача 12: У входа в пещеру с сокровищами стоит бочка с 4 дырками по кругу в крышке. В каждой дырке можно нащупать селедку хвостом вверх или вниз. Али-Баба может просунуть руки в любые две дырки, определить положение селедок под ними и, если хочет, перевернуть одну или обе по своему усмотрению. Когда хвосты всех четырёх селедок окажутся направленными в одну сторону, дверь в пещеру откроется. Однако, после того, как Али-Баба вытаскивает руки, бочка некоторое время с дикой скоростью крутится, так что Али-Баба не может определить, куда именно он совал руки раньше. Как Али-Бабе открыть дверь не более чем за 10 засовываний?

Решение:

Шаг 1. Засовываем руки в 2 соседних дырки и делаем так, чтобы там обе селедки находились хвостами вверх.

Шаг 2. Засовываем руки в 2 дырки по диагонали и делаем так, чтобы там обе селедки находились хвостами вверх. Если дверь еще не открылась, то получаем такую ситуацию: три селедки хвостами вверх, одна – хвостом вниз (с точностью до поворота).

Шаг 3. Засовываем руки по диагонали. Если одна из селедок хвостом вверх, а другая – вниз, то переворачиваем вверх ту, которая была вниз, и дверь открывается. Если обе – вверх, то переворачиваем одну из них хвостом вниз и получаем такую ситуацию: две рядом идующие селедки смотрят хвостом вниз, а две остальных – хвостом вверх.

Шаг 4. Засовываем руки в соседние дырки. Если там селедки имеют одинаковое направление хвостов, то переворачиваем обе и дверь открывается. Иначе – тоже переворачиваем обе и получаем следующую ситуацию: две диагональные селедки смотрят хвостами вниз, остальные две – хвостами вверх.

Шаг 5. Засовываем руки по диагонали и переворачиваем обе селедки. В итоге все четыре селедки оказываются направленными в одну сторону, и дверь открывается.

Задача 13: Решите более сложную задачу о сокровищах: в бочке по кругу находится 8 дырок, а за один ход разрешается «тестировать» и при необходимости переворачивать любые четыре из них.

Задача 14: Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.

Задача 15: Найдите шесть последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 2, второе – на 3, третье – на 4, четвертое – на 5, пятое – на 6, шестое – на 7. Обязательно ли число, следующее за шестым, будет делиться на 8?

Задача 16: Найдите шесть последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 2, второе – на 3, третье – на 5, четвертое – на 7, пятое – на 11, шестое – на 13.