Задача 1: Найдите все двузначные числа, у которых четвертая степень суммы цифр равна сумме цифр четвертой степени самого числа.

Задача 2: Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что количество его сторон делится на количество его диагоналей?

Задача 3: Из единичных кубиков составлен кубик размером 3 × 3 × 3. Какое наибольшее число кубиков можно из него удалить так, чтобы при взгляде на оставшуюся фигуру с любой из шести возможных сторон был виден квадрат со стороной 3 без просветов? (Привести пример и объяснить, почему это наибольшее число.)

Задача 4: Даны натуральные числа A и B. Известно, что среди четырёх утверждений «A + 1 делится на B», «A = 2B + 5», «A + B делится на 3», «A + 7B – простое число» имеются три верных и одно неверное. Найти все возможные пары чисел A и B.

Задача 5: На витрине лежали N монет, легчайшая из которых весит 100 г, а каждая следующая – на 1 г тяжелее предыдущей. Какой-то шутник перепутал все этикетки под монетами, причём продавец все равно помнит, какая из монет сколько весит, но хозяин ему не верит. В распоряжении продавца имеются чашечные весы без гирь, которые показывают разность масс на чашках (в граммах). Как продавцу убедить хозяина в своей правоте, если а) N = 9 и хозяин согласен провести два взвешивания; б) N = 27 и хозяин согласен на три взвешивания?

Задача 6: Какое наименьшее значение может принимать сумма цифр числа, кратного 14?

Задача 7: Кот может съесть гирлянду сосисок за 37 минут, а пес – за 23 минуты. Они начали есть с двух концов, и когда съели всю, то посчитали, сколько процентов от всей гирлянды досталось каждому. Оказалось, что коту досталось на 10 больше, чем псу. Кто из них начал есть раньше и на сколько минут?

Задача 8: Найдите а) 18; б) 19; в) 20 наименьших последовательных натуральных чисел, сумма которых делится на 27.