Задача 1: Докажите, что если AH – высота в треугольнике ABC, то AB > AC если и только если HB > HC

Задача 2: Внутри треугольника ABC дана точка O. Докажите, что AO + OC < AB + BC.

Задача 3: Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего – меньше.

Задача 4: Докажите, что в четырехугольнике сумма длин сторон а) меньше удвоенной суммы длин диагоналей; б) больше суммы длин диагоналей.

Задача 5: Докажите, что в треугольнике со сторонами a,b,c а) a² + b² > c² тогда и только тогда, когда угол C – острый; б) a² + b² < c² тогда и только тогда, когда угол C – тупой.

Задача 6: Найти внутри остроугольного треугольника точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Задача 7: Из какой точки треугольника ABC сторона AB видна под наименьшим углом?

Задача 8: Докажите, что если отрезки AB и CD пересекаются, то AC + BD < AB + CD

Задача 9: Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет бoльшую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

Задача 10: Докажите, что в треугольнике а) та из двух высот меньше, которая проведена к большей стороне; б) то же для медиан.

Задача 11: Докажите, что любой отрезок внутри треугольника не превосходит его наибольшей стороны.

Задача 12: В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Высота любого дерева меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Задача 13: В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Докажите, что AB > AC тогда и только тогда, когда LB > LC.

Задача 14: Докажите, что в треугольнике сумма высот меньше периметра.

Задача 15: Внутри выпуклого четырехугольника с суммой диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой диагоналей d′. а) Может ли оказаться d′ > d? б) Докажите, что d′ < 2d.

Задача 16: Докажите, что любой многоугольник периметра 1 можно поместить в круг радиуса ¼

Задача 17: а) На плоскости отмечены 10 точек. Докажите, что на данной окружности радиуса 1 найдется точка, сумма расстояний от которой до отмеченных не меньше 10. б) На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше сумм расстояний от центра стола до центров часов.

Задача 18: Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.