Задача 1: В таблице N × N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе). Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть один столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Задача 2: На плоскости расположено несколько непрозрачных кругов и точка. Докажите, что из этой точки некоторый круг виден полностью (то есть, что другие круги его не загораживают его даже частично).

Задача 3: Трое велосипедистов ездят с различными постоянными скоростями по круглому велотреку. У них есть фляжка, которая обязательно передается от одного к другому при встрече или обгоне (ситуаций, когда все трое оказываются одновременно в одном месте, не случается). Может ли оказаться, что как бы долго они не ездили, к одному из них фляжка так и не попадет?

Задача 4: На какое количество нулей может оканчиваться число вида 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ при натуральных n? (Найдите все возможные ответы)

Задача 5: На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что AD = CE, и в треугольнике ADE проведена медиана AM. Докажите, что BE = 2AM.

Задача 6: Брат-старшеклассник спросил сестренку-младшеклассницу: «Сколько дней тебе было ровно втрое меньше полных лет, чем мне?»

– 3 дня, – ответила сестренка.

– А ровно в 4 раза?

– 4 дня.

– А ровно в 6 раз?

Тут сестренка задумалась. Она помнила, что такие дни были, но вот сколько…Помогите ей найти ответ.

Задача 7: Для натуральных чисел a, b, c известно, что Докажите, что .

Задача 8: В противоположных углах клетчатой доске 7 × 8 ставятся черная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть – пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?