Задача 1: а) Кощей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b и c. Иван Царевич должен назвать ему три числа x, y и z, после чего Кощей сообщит ему сумму ax + by + cz. Иван Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?

б) Кощей Бессмертный загадывает три любых натуральных числа: a, b и c. Иван Царевич называет ему три числа x, y и z, после чего Кощей сообщает ему сумму ax + by + cz. Иван Царевич должен отгадать задуманные числа за два таких «хода», иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?

Решение: а) Иван Царевич должен назвать числа 1, 100, 100². Числа a, b, c – «цифры» ответа Кощея в 100-ичной записи.

б) Первым ходом Иван называет, например, три единицы – пусть Кощей в ответ сообщает число x. Тогда Иван действует аналогично пункту a), используя систему счисления с основанием x, – называет числа 1, x и x².

Задача 2: Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любой вес от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

Решение: Любое число можно записать в двоичной системе счисления. Поэтому для взвешивания любого веса от 1 до 100 достаточно иметь семь гирь с весами 1, 2, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶. Шестью гирями обойтись нельзя, так как с их помощью можно взвесить не более 2⁶ – 1 = 63 различных весов (каждая гиря либо участвует, либо не участвует во взвешивании).

Задача 3: а) Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел, запись которых в троичной системе счисления содержит только 0 и 1.

б) Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любой вес от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Решение: а) Запишем исходное число в троичной системе счисления и построим требуемые числа поразрядно справа налево. При этом если у получившихся чисел в каких-то одноименных разрядах стоят единицы, то их можно заменить нулями.

б) Воспользовавшись результатом п. а), получаем, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1, 3, 3², 3³, 3⁴ (гиря весом 3⁵ не нужна). Четырех же гирь явно недостаточно, так как с их помощью можно взвесить не более 3⁴ – 1 = 80 различных весов (каждая гиря либо на левой чашке весов, либо на правой, либо не участвует во взвешивании).