Задача 1: [ФРГ] Пусть p_n(k) – число перестановок множества из n (n ≥ 1) элементов, имеющих ровно k неподвижных точек. Докажите, что p_n(1) + 2 • p_n(2) +  …  + n • p_n(n) = n!

Задача 2: [СССР] Продолжение биссектрисы AL (L ∈ BC) остроугольного треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке N (N не совпадает с A). Из точки L на стороны AB и AC опущены перпендикуляры LK и LM. Докажите, что площади четырехугольника AKNM и треугольника ABC равны.

Задача 3: [ФРГ] Пусть x₁,x₂, … ,x_n – действительные числа и . Докажите, что для любого целого числа k ≥ 2 существуют целые числа a₁,a₂, … ,a_n, не все равные нулю, |a_i| ≤ k – 1,i = 1,2, … ,n, и такие, что

Задача 4: [Вьетнам] Пусть  – множество целых неотрицательных чисел. Докажите, что не существует функции такой, что f(f(n)) = n + 1987 для любого .

Задача 5: [ГДР] Докажите, что для каждого натурального числа n, n ≥ 3, можно выбрать на плоскости n точек так, чтобы выполнялись два условия:

а) расстояние между любыми двумя точками было иррациональным числом;

б) любые три точки являлись вершинами невырожденного треугольника, площадь которого выражалась бы рациональным числом.

Задача 6: [СССР, В.Ф.Лев] Пусть n ≥ 2 – натуральное число. Докажите, что если числа k² + k + n – простые для каждого целого k, , то числа k² + k + n – простые для каждого целого k, 0 ≤ k ≤ n – 2.