|
Задачная база >> | Убрать решения |
|
|
(a) Вычислить f(m,n) для всех натуральных чисел m и n, которые либо оба четны, либо оба нечетны.
(b) Доказать, что f(m,n) ≤ ½ max (m,n) для всех m и n.
(c) Показать, что не существует константы C такой, что f(m,n) < C для всех m и n.
Задача 2: В треугольнике ABC угол A является наименьшим. Точки B и C делят окружность, описанную около этого треугольника, на две дуги. Пусть U – внутренняя точка той дуги с концами B и C, которая не содержит точку A. Срединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекают прямую AU в точках V и W соответственно. Прямые BV и BW пересекаются в точке T.Доказать, что AU = TB + TC.
Задача 3: Пусть x1, x2, …, xn – действительные числа, удовлетворяющие условиям |x1 + x2 + + xn| = 1 и Доказать, что существует перестановка y1, y2, …, yn чисел x1, x2, …, xn такая, что Задача 4: Таблица n × n, заполненная числами из множества S = 1,\,2,\, ,\,2n – 1, называется серебряной, если для любого i = 1, 2, …, n объединение i-ой строки и i-го столбца содержит все числа из S.Показать, что:
(а) Не существует серебряной таблицы для n = 1997;
(b) Серебряные таблицы существуют для бесконечного числа значений n.
Задача 5: Найти все пары (a,b) целых чисел a ≥ 1, b ≥ 1, удовлетворяющих уравнению Задача 6: Для любого натурального числа n обозначим через f(n) число способов представления числа n в виде суммы целых неотрицательных степеней числа 2.Представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Например, f(4) = 4, так как число 4 может быть представлено следующими четырьмя способами: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.
Доказать, что для любого целого числа n ≥ 3
Задачная база >> | Убрать решения |