Задача 1: (5–7) В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M × K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1. Докажите, что M = K.

Задача 2: (5–6) В круге отметили точку. Разрежьте круг на а) три; б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.

Задача 3: (5–9) Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше — доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

Задача 4: (5–6) Можно ли нарисовать эту картинку (рис. 2), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?

Задача 5: (5–6) Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдутся три точки A, B и C, окрашенные в один цвет такие, что точка B является серединой отрезка AC.

Задача 6: (7) Пусть A, B и C — три числа, большие 0 и меньшие 1, K — наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K

Задача 7: (7–9) В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

Задача 8: (7) На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть покрашены в один цвет). Хватит ли для такой раскраски двух цветов?

Задача 9: (8–9) Доказать неравенство

Задача 10: (8–9) В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:

— в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ; — из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.

Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке? А дни недели?