Задача 1:

f(x) = x² + x. Докажите, что уравнение 4f(a) = f(b) не имеет натуральных решений.

Задача 2:

Точка A находится внутри круга с центром O. Найдите все точки P на окружности такие, что угол OPA максимальный.

Задача 3:

Найдите наименьшее основание системы счисления в которой число 777 является точной четвертой степенью.

Задача 4:

Все коэффициенты произведения двух многочленов с целыми коэффициентами четные, но не все из них делятся на 4. Докажите, что все коэффициенты одного из двух перемноженных многочленов четны, и по крайней мере один из коэффициентов второго нечетен.

Задача 5:

Через точку P у основания конуса провели наикратчайшую линию соединяющую P с собой. Найдите наименьшее расстояние от этой лини до вершины конуса, если радиус основания равен 1, а боковая сторона 3?

Задача 6:

0 < u < 1. Определим последовательность u₁ = 1 + u, . Докажите, что u_n > 1 при всех n.

Задача 7:

Город имеет форму прямоугольника m × n. Докажите, что количество способов пройти из северо-восточного угла города в юго-западный не проходя ни по какому перекрестку дважды не более чем 2^mn.