ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1982Показать решения
Канадская математическая олимпиада.. 1982

Задача 1:

A1A2A3A4 – выпуклый четырехугольник, O – произвольная точка плоскости. Построили точки B1,B2,B3,B4 такие,что (A5 = A1). Докажите, что площадь четырехугольника B1B2B3B4 в два раза больше площади A1A2A3A4.

Задача 2:

a,b,c – корни уравнения x³ – x² – x – 1 = 0. Докажите, что a,b и c – различны, и число

целое.

Задача 3:

Определите наименьшее количество точек, которое можно выбрать в так, чтобы любая точка находилась на иррациональном расстоянии по крайней мере от одной выбранной точки.

Задача 4:

Докажите, что количество перестановок из n элементов не имеющих неподвижных точек отличается от количества перестановок имеющих ровно одну неподвижную точку на 1.

Задача 5:

На продолжениях высот тетраэдра ABCD взяли точки A′,B′,C′,D′ такие, что они лежат вне тетраэдра и AA′ = k/ha, BB′ = k/hb, CC′ = k/hc, DD′ = k/hd, где k – произвольное число, ha – длина высоты опущенной из вершины A. Докажите, что центры тетраэдров ABCD и A′B′C′D′ совпадают.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1982Показать решения