Задача 1:
Стороны треугольника – последовательные натуральные числа,
а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите радиус окружности
описанной около этого треугольника.
Задача 2:
Найдите все тройки натуральных чисел (a,b,c) таких, что

Задача 3:
Решите систему в вещественных числах:

Задача 4:
Сумма любых трех последовательных цифр n-значного числа N
делится на 5. Докажите, что если все цифры N различны,
то n ≤ 6. Также, докажите, что можно найти шестизначное число
обладающее данным свойством, начинающееся с любой цифры.
Задача 5:
a,b,c – стороны треугольника, h
a – высота, проведенная
к стороне a. Докажите, что

.
Задача 6:
Докажите, что для любого n существуют положительные рациональные,
но не целые числа a и b, такие что числа
a – b,a² – b²,
,a
n – b
n – целые.
Задача 7:
Докажите, что среди 50 чисел от 1 до 100, среди которых нет двух
с суммой 100, всегда найдется точный квадрат.