ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Ирландия >> 2000Убрать решения
Ирландская математическая олимпиада.. 2000

Задача 1:

Пусть S – множество всех чисел вида a(n) = n² + n + 1, где n – натуральное число. Докажите, что произведение a(n)a(n + 1) принадлежит S при всех натуральных n. Приведите (с доказательством) пример такой пары элементов s,t ∈ S, что .

Задача 2: Пусть ABCD –правильный пятиугольник, стороны которого равны 1, F – середина AB, а G и H – точки на сторонах CD и DE соответственно такие, что  ∠ GFD =  ∠ HFD = 30. Докажите, что треугольник GFH равнобедренный.

В треугольник GFH вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на GH. Докажите, что FG имеет длину

а сторона квадрата равна

Задача 3: f(x) = 5x¹³ + 13x5 + 9ax. Найдите наименьшее натураьное число a такое, что f(x) делится на 65 при любом целом x.

Задача 4: a1 < a2 <  … aM – вещественные числа. a1,a2, … ,aM называется Слабой арифметической прогрессией длины M, если существуют вещественные числа x0, x1, x2,…, xM и d такие, что x0 ≤ a1 ≤ x1 ≤ a2 ≤ x2 ≤ a3 ≤ x3 …  ≤ aM < xM, и xi + 1 – xi = d для i = 0,1,2 … M – 1, то есть x0,x1,x2, … ,xM – арифметическая прогрессия.

a) Докажите, что если a1 < a2 < a3, то a1,a2,a3 – слабая арифметическая прогрессия длины 3.

b) Пусть A – подмножество 0,1,2,3, … ,999 в которой не менее, чеи 730 членов. Докажите, что A содержит слабую арифметическую прогрессию длины 10.

Задача 5: Рассмотрим все параболы вида y = x² + 2px + q (), пересекающие оси абсцисс и ординат в трёх различных точках. Для каждой пары (p,q) обозначим через Cp,q окружность, проходящую через точки пересечения параболы y = x² + 2px + q с осями. Докажите, что все окружностями Cp,q имеют общую точку.

Задача 6: x и y – положительные вещественные числа, сумма которых равна 2. Докажите, что x²y²(x² + y²) ≤ 2

Задача 7: Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, R – радиус описанной окло него окружности, a, b, c и d – длины сторон четырёхугольника ABCD, Q – его площадь. Докажите, что

Выведите также, что

причём равенство достигается в том и только том случае, когда ABCD – квадрат.

Задача 8: Для каждого натурального числа n найдите все такие натуральные m, что найдутся натуральные x1 < x2 <  …  < xm, при которых

Задача 9: Докажите, что среди любых десяти последовательных целых чисел найдётся число взаимнопростое со всеми остальными.

Задача 10: Пусть p(x) = a0 + a1x +  …  + anxn – многочлен с неотрицательными коэффициентами такой, что p(4) = 2, а p(16) = 8. Докажите, что p(8) ≤ 4 и найдите все такие многочлены p, что p(8) = 4.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Ирландия >> 2000Убрать решения