ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Тайвань >> 1995Показать решения
Тайваньская математическая олимпиада.. 1995

Задача 1:

P(x) = a0 + a1x + a2x² +  …  + anxn – многочлен с комплексными коэффициентами.  α 1,  α 2,…,  α n – корни P(x), притом | α 1| > 1, | α 2| > 1,…, | α j| > 1 и | α j + 1| ≤ 1,…, | α n| ≤ 1. Докажите, что

Задача 2:

Из последовательности из 8 целых чисел x1, … ,x8 разрешается получить послежовательность |x2 – x1|, |x3 – x2|,…, |x8 – x7|, |x1 – x8|. Найдите все целочисленные последовательности из которых за конечное число таких операций можно получить 8 равных чисел.

Задача 3:

В компании из n человек каждый знаком ровно с 8 другими, притом, у любых двух знакомых есть 4 общих знакомых, а у любых двух не знакомых  – 2 общих знакомых. Найдите все возможные значения n.

Задача 4:

Докажите, что для любых n различных целых чисел m1, m2,…, mn существует неприводимый многочлен n-й степени с целыми коэффициентами f(x) такой, что f(mi) =  – 1.

Задача 5:

Из точки P на описанной около треугольника ABC окружности опустили перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника. Основания перпендикуляров лежат на одной прямой. Докажите, что эта прямая проходит через середину отрезка PH, где H – ортоцентр треугольника ABC.

Задача 6:

a, b, c, d – целые числа, притом (a,b) = 1 и (c,d) = 1. Пусть ad – bc = k > 0. Докажите, что существует ровно k различных пар вещественных чисел (x1,x2) таких, что 0 ≤ x1,x2 < 1, а числа ax1 + bx2 и cx1 + dx2 – целые.

В



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Тайвань >> 1995Показать решения