Задача 1:

A_n и  α _n – последовательности натуральных чисел, притом, любое натуральное x можно единственным образом представить в виде , где все числа x_n – целые, 0 ≤ x_n ≤  α _n и x_N ≠ 0.

Докажите, что 1) существует такое n₀, что ; 2) A_k ≠ A_j при k ≠ j; 3) если A_k ≤ A_j, то A_k делится на A_j.

Задача 2:

На сторонах AB и CD квадрата ABCD отмечены точки M и N соответственно. Прямые CM и BN пересекаются в точке P, а AN и MD – в точке Q. Докажите, что |PQ| ≥ ½|AB|.

Задача 3:

На прямой покрасили n целочисленных точек. Определите все возможные k такие, что найдется семейство замкнутых попарно непересекающихся отрезков, содержащих все покрашенные точки, притом для каждого отрезка I отношение числа покрашенных точек из I к числу всех целых точек в I равно 1/k.

Задача 4: Дан четырехугольник ABCD и окружность, касающаяся сторон AD, DC и CB в точках K, L и M соответственно. Прямая, проходящая через L параллельно AD пересекает отрезок KM в точке N. P – точка пересечения LN и KC. Докажите, что |PL| = |PN|.

Задача 5:

Докажите, что делится на n!.

Задача 6:

Докажите, что не существует такой функции f заданной на множестве вещественных чисел, что f(x + y) > f(x)(1 + yf(x)) для всех x,y.