ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> США >> 1991Показать решения
Математическая олимпиада США. 1991

Задача 1:

В треугольнике ABC угол A в два раза больше угла B, угол C – тупой, а длины сторон a,b,c – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

Задача 2:

Для любого непустого множества чисел S, обозначим  σ (S) и  π (S) сумму и произведение элементов S соответственно. Докажите, что

где « Σ » означает суммирование по всем непустым подмножествам множества 1,2,3, … ,n.

Задача 3:

Докажите, что для любого целого n ≥ 1, последовательность

постоянна начиная с некоторого места.

( означает взятие остатка от делени \,ai\, на \,n.)

Задача 4:

a = (mm + 1 + nn + 1)/(mm + nn), где m и n – натуральные числа. Докажите, что am + an ≥ mm + nn.

Задача 5:

D – некоторая точка на стороне AB треугольника ABC, а E – точка, в которой CD пересекает внешнюю общую касательную к окружностям, вписанным в треугольники ACD и BCD. Докажите, что если точка D пробегает отрезок AB, то точка E описывает некоторую дугу окружности.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> США >> 1991Показать решения