Задача 1: Докажите, что среди чисел 3x – 2y – z, 3y – 2z – x, 3z – 2x – y найдется хотя бы одно неотрицательное.

Решение: Предположим, что все три числа отрицательны. Тогда их сумма (3x – 2y – z) + (3y – 2z – x) + (3z – 2x – y) < 0, то есть 0 < 0, но это неверно. Значит, среди этих чисел есть неотрицательное.

Задача 2: Наибольшее из чисел 3x – 5, 5 – 2x, x – 1 обозначили через a, второе через b, а самое маленькое через c. При каких x верно 4b – 2a = 3c?

Решение: Заметим, что при x = 2 все три числа равны. При x > 2 3x – 5 > x – 1 > 5 – 2x, значит, a = 3x – 5, b = x – 1, c = 5 – 2x. Решая получившееся уравнение 4(x – 1) – 2(3x – 5) = 3(5 – 2x), находим, что . Аналогично в случае, когда x < 2, получаем уравнение 4(x – 1) – 2(5 – 2x) = 3(3x – 5), которое имеет корень x = 1. Таким образом равенство 4b – a = 2c выполнено при и x = 1.

Задача 3: На стороне CD квадрата ABCD построен треугольник CDN (точка N лежит вне квадрата), все углы которого по 60  . На диагонали AC построен треугольник ACM (точка D лежит внутри него), все углы которого тоже 60  . Докажите, что отрезок MN равен стороне квадрата ABCD.

Решение: AC = CM, CD = CN,  ∠ ACD =  ∠ MCN = 60   –  ∠ DCM. Значит, треугольники ACD и MCN равны. Значит MN = AD – сторона квадрата.

Задача 4: