ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Олимпиада ЮМШ >> 1999 год >> Городской тур >> 5 классУбрать решения
Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования. Олимпиада ЮМШ. 1999 год. Городской тур. 5 класс

Задача 1:

Можно ли раскрасить доску размером 8 × 8 клеточек так, чтобы в фигурке при любом ее расположении была бы ровно одна закрашенная клетка?

Задача 2:

Лев установил в лесу несколько законов: «На одной полянке не должно быть больше трех ушатых и хвостатых одновременно.», «Все волки и зайцы имеют по два уха и одному хвосту, а кроме того – острые зубы.», «Зайцы должны находиться в лесу парами.», «Зубастые звери не ходят поодиночке.», «Нельзя делать действия, заставляющие других нарушить закон.». Может ли волк на полянке съесть зайца, не нарушив законы?

Задача 3:

Паша играл в тетрис (в стакан шириной 10 клеток падают фигурки из 4 клеток; если клетки фигурок полностью заполняют какую-либо линию, она исчезает, а верхние клетки съезжают вниз). Перед выходом в школу старший брат посмотрел на экран и запомнил картинку. Придя из школы, он первым делом поинтересовался у брата: «Как игра?», на что услышал – «1999 линеек за это время уничтожил». Брат посмотрел на экран и воскликнул: «Да ведь эта та же картинка, что была перед моим уходом, только вверх ногами!». Докажите, что кто-то из них ошибся.

Задача 4:

В шахматном королевстве балетмейстер придумал «танец коней». Танцующие кони делают два «правых» шага, а потом один «левый» (шаг заключается в том, что конь скачет на 2 клетки вперед, а потом поворачивает и скачет на 1 клетку вправо, если ход «правый», или на одну клетку влево, если ход «левый»). Каковы минимально возможные размеры зала, чтобы в нем можно было танцевать этот танец?

Задача 5:

У Золотой Рыбки половина всех знакомых – пескари, треть – щуки, а каждый четвертый (если смотреть по записной книжке) – карась. Сколько знакомых у Золотой Рыбки?

Задача 6:

На доске выписали все возможные девятизначные числа, которые можно получить из цифры 9, записывая каждый раз за последней цифрой либо ее же, либо цифру, меньшую ее на 1 (например, так можно получить число 998766543). Сколько раз встречается цифра 3 среди последних цифр этих чисел?

Задача 7:

Клетки двух таблиц размерами 1982 × 1983 закрашены в синий и красный цвет так, что в каждом столбце и любой строке – чётное число синих клеток. Одну из таблиц наложили на другую, при этом одна из синих клеток наложилась на красную. Докажите, что найдутся ещё три клетки, покрытые клетками противоположного цвета.



Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Олимпиада ЮМШ >> 1999 год >> Городской тур >> 5 классУбрать решения