Задача 1: Пусть M – точка внутри квадрата , причем  ∠ BAM = 30, и  ∠ BCM = 15. Найти  ∠ MDA.

Решение:

На прямой AM построим точку M′ такую, что  ∠ M′DA = 60, и докажем, что точки M и M′ совпадают.  ∆ AM′D — равносторонний, поэтому  ∠ AM′D = 60, и M′D = AD = CD и, следовательно,  ∆ M′DC – равнобедреный с углами  ∠ M′DC = 30,  ∠ CM′D =  ∠ DCM′ = 75. Поэтому  ∠ M′CB = 15, и в силу определения точки M получаем, что M = M′.

Ответ:  ∠ MDA = 60.

Задача 2: Пусть числа a,b,c удовлетворяют неравенствам a + b + c > 0,ab + ac + bc > 0,abc > 0.

Доказать, что a > 0,b > 0,c > 0.

Решение:

Так как abc > 0, то либо a > 0,b > 0,c > 0, либо среди чисел a,b,c одно положительное и два отрицательных. Например, a > 0,b < 0, c < 0. Покажем, что такое невозможно. Действительно, тогда a >  – b – c,bc > a( – b – c) > ( – b – c)², так как a > 0, – b – c > 0. Отсюда bc > b² + 2bc + c², то есть b² + bc + c² < 0. Но . — противоречие. Следовательно, a > 0,b > 0,c > 0.

Задача 3: Натуральные числа a,b,c таковы, что a² + b² + c² делится на ab + bc + ca, а число a + b + c – простое.

Докажите, что a = b = c = 1.

Решение:

Обозначим тогда

значит ab + ac + bc = p = a + b + c, откуда a = b = c = 1.

Задача 4: 15 команд играют турнир в один круг.

Докажите, что в некотором матче встретятся команды, сыгравшие перед этим в сумме нечетное число матчей.

Решение: Допустим противное. Тогда если одна из двух встречающихся в матче команд сыграла до матча четное число игр, то другая – тоже (назовем такие матчи четными). Каждая команда сыграла по 7 четных матчей, поэтому удвоенное (в матче участвуют две команды) число четных матчей равно 7 × 15, но это число – нечетное. Противоречие.