Задача 1: В прямоугольник вписан четырехугольник (по вершине на каждой стороне).

Доказать, что его периметр не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Решение:

Пусть четырехугольник EFGH вписан в прямоугольник ABCD (см. рисунок). Продолжим сторону AD и отложим на ней точки H₁ и H₂ так, что HD = DH₁, и HA = AH₂ (см.рис.4). Тогда HG = GH₁ (т.к.  ∆ HGD =  ∆ H₁GD), и HE = H₂E (т.к.  ∆ HEA =  ∆ H₂EA). Пусть p — периметр четырехугольника EFGH. Тогда

Оценим FH₁ + FH₂. Проведем через точку H₁ прямую, перпендикулярную к AD и отложим на ней точки O и H₃ так, что H₁O = OH₃ = AB. Тогда FH₃ = FH₁ (т.к.  ∆ H₁FO =  ∆ H₃FO). Следовательно, p ≥ FH₁ + FH₂ = H₂F + FH₃ ≥ H₂H₃. Но H₁H₂ = 2AD, H₁H₃ = 2AB. Следовательно, H₂H₃ = 2AC (из подобия треугольников  ∆ ACD и  ∆ H₂H₃H₁), и тогда p ≥ 2AC. Этим все доказано.

Задача 2: Пусть положительные числа a,\,b,\,c,\,d удовлетворяют неравенствам: a ≤ b ≤ c ≤ d, и a + b + c + d ≥ 1. Доказать, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Решение:

Так как числа положительны, то 3b² ≥ b² + 2ab, 5c² ≥ c² + 2ac + 2bc, 7d² ≥ d² + 2ad + 2bd + 2cd, и a² ≥ a².

Складываем эти неравенства и получаем a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ a² + b² + c² + d² +   + 2ab + 2ac + 2bc + 2ad + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)² ≥ 1.

Задача 3: Поле для игры в«морской бой" имеет форму квадрата размером 8 × 8 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму прямоугольника 1 × 4. В клетках поля можно устанавливать детекторы, показывающие, накрывает ли корабль эту клетку.

Какое наименьшее число клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно было однозначно определить положение корабля?

Решение:

На каждой горизонтали из восьми клеток установлено не меньше четырех детекторов, иначе в какой-то из пар клеток, отмеченных на рисунке 5а одинаковым номером (скажем, 3) нет детекторов, и тогда положение 3 4 1 2 неотличимо от 4 1 2 3. Поэтому на доске не меньше 32 детекторов. На рис.5б показано, как обойтись ровно тридцатью двумя.

Задача 4: На доске выписаны 17 двузначных чисел. Математик возвел одно из них в сотую степень. Оказалось, что полученное число делится на любое из выписанных.

Докажите, что тогда оно делится и на произведение всех выписанных чисел.

Решение:

Пусть математик возвел в сотую степень число a. Достаточно доказать, что a⁹⁹ делится на произведение оставшихся чисел – обозначим его через Q. Разложим Q на простые множители. Допустим, что простое число p входит в разложение Q в степени n. Тогда какое-то из оставшихся чисел b делится на p. a¹ºº делится на b, значит, a делится на p. Двузначное число может делится не более, чем на шестую степень простого числа (так как p² ≥ 2⁷ = 128), поэтому произведение 16 двузначных чисел делится не более, чем на p⁹⁶. В то же время a⁹⁹ делится на p⁹⁹. Поскольку это верно для любого простого p, то a⁹⁹ делится на Q.