Задача 1: Известно, что a,b,c,d – целые числа и ab + cd делится на a + c. Докажите, что ad + bc делится на a + c.

Решение:

ad + bc = (a + c)(b + d) – (ab + cd) и т.к. (a + c)(b + d) и (ab + cd) делятся на a + c, то и их разность тоже делится на a + c.

Задача 2: Длина высоты AB прямоугольной трапеции ABCD равна сумме длин оснований AD и BC.

Докажите, что биссектриса угла  ∠ ABC делит сторону CD пополам.

Решение:

Проведем среднюю линию трапеции EF (см. рис.2.). Тогда EF = ½(BC + AD) = ½AB. Кроме того, BE = ½AB,CF = ½CD. Треугольник  ∆ EBF – равнобедренный (EB = EF). Следовательно,  ∠ EBF = 45. Но тогда BF – биссектриса угла  ∠ ABC и т.к. CF = ½CD, то все доказано.

Задача 3: В конференции принимало участие 19 ученых. После конференции каждый из них отправил 4 или 2 письма другим ученым, бывшим на конференции. Может ли случиться, что каждый из них получит по 3 письма?

Решение:

Не может. Иначе общее число полученных писем будет нечетно, но оно должно равняться числу отправленных писем, которое, как следует из условия, четно.

Задача 4: По дороге на Новогодний праздник несколько мальчиков помогли Деду Морозу донести подарки. Каждый из мальчиков донес по три подарка, а остальные 142 подарка Дед Мороз сам довез на санях. Все эти подарки Дед Мороз разделил поровну между всеми этими мальчиками и 14 девочками.

Сколько было мальчиков?

Решение:

Отдадим из 142 подарков, привезенных Дедом Морозом, 42 подарка девочкам – по 3 каждой. Тогда у всех детей будет по 3 подарка, и оставшиеся 100 подарков должны разделиться между ними поровну. Отсюда общее число детей – делитель числа 100, больший 14, т.е. одно из чисел 20, 25, 50, или 100. Ответ: 6, 11, 36, или 86.