Задача 1: Можно ли из 1996 дробей

выбрать три, произведение которых равно единице?

Решение:

Пусть найдутся такие дроби. Тогда , откуда 2nmk = 1997(nm + mk + kn) – 1997² = 1997(nm + mk + kn – 1997). Так как 1997 – простое число, то 1997 делит либо n, либо m, либо k, что невозможно, так как n < 1997, m < 1997, k < 1997.

Задача 2: Записав числа

в каком-либо порядке, соедините их знаками « + ",« – ", « × " (умножить), и «:" (разделить) так, чтобы полученное выражение равнялось 0. (Скобки использовать нельзя).

Решение:

Одно из решений:

З А М Е Ч А Н И Е:

Решения вида

не подходят, так как выражение не определено.

Задача 3: В треугольниках  ∆ ABC и  ∆ A′B′C′ стороны AB, BC, A′B′, B′C′ равны между собой. Треугольник  ∆ A′B′C′ находится внутри  ∆ ABC. Возможно ли такое?

Решение:

Да. Например:

Задача 4: Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять«двушек", а при опускании «двушки" – пять гривенников. Может ли Петя, подойдя к автомату с одной «двушкой", получить после нескольких опусканий одинаковое количество «двушек" и гривенников?

Решение:

Заметим, что после любого обмена на руках у Пети остается нечетное число монет и, следовательно, у него никогда не будет одинакового количества «двушек" и гривенников.