Задача 1: Шеф секретной службы составил следующую инструкцию взаимодействия слежки для своих семи главных агентов: 001 следит за тем, кто следит за 002, 002 – за тем, кто следит за 003, ... 007 следит за тем, кто следит за 001. Но вдруг пришел приказ: взять на службу еще агента 008. Сможет ли шеф составить аналогичную инструкцию и для восьми агентов?

Решение: Рассмотрим соответствующий ориентированный граф. Так как каждый следит ровно за одним, граф распадается на циклы. По условию граф связный, значит цикл один, т.е. это восьмиугольник, в вершинах которого расставлены цифры 1,...,8 через одну. Но это невозможно.

Задача 2: На двух одинаковых бумажных кругах художник нарисовал двух совершенно одинаковых драконов. На одном рисунке глаз дракона совпал с центром круга, а на втором не совпал. Докажите, что второй круг можно разрезать на части так, что из них можно сложить круг с драконом, у которого глаз находится в центре круга.

Решение: Построим круг того же радиуса с центром в глазе второго дракона. Очевидно, второй дракон лежит в пересечении этого круга и исходного. Вырежем это пересечение и повернем его на 180 гр. Глаз окажется в центре.

Задача 3: Три точки не лежат на одной прямой. Построить окружности с центрами в этих точках, которые попарно касаются друг друга.

Решение: Пусть центры данных окружностей A, B, C. Возьмем центр вписанной в треугольник ABC окружности и опустим из него перпендикуляры на стороны. Искомые окружности касаются этих прямых в точках их пересечения со сторонами треугольника.

Задача 4: Найдутся ли два последовательных натуральных числа таких, что сумма цифр каждого из них делится на 11?

Решение: Да. Например, 2899999 и 2900000.

Задача 5: Куб 3 × 3 × 3 составлен из 14 белых и 13 черных кубиков со стороной 1. Столбик – это три кубика, стоящие вдоль одного направления: длины, ширины или высоты. Может ли быть так,что в каждом столбике нечетное количество белых кубиков?

Решение: Нет. Если в каждом из девяти вертикальных столбиков было бы нечетное число белых кубиков, то и всего их было бы нечетное число.