Задача 1: Для отмывания денег N банками была разработана схема перевода финансов, по которой каждый из этих банков был связан взаимными переводами грязных денег с K > 2 из этих N банков. В связи с предстоящей проверкой схему было решено изменить. Каждому банку было предложено прекратить такие связи ровно с двумя банками. При любых ли N и K это возможно?

Задача 2: Известно, что x, y и  – натуральные числа. Докажите, что x² + y² + 6 – куб натурального числа.

Задача 3: В треугольнике ABC AA₃, BB₃ и CC₃ три чевианы,  ω  – вписанная окружность. Пусть A_O – точка касания  ω  со стороной BC, а A₁ и A₂ – точки пересечения AA₃ с  ω , причем A₁ лежит между A и A₂. Тройки точек B_O, B₁, B₂ и C_O, C₁, C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки B_O, B₁ и точка пересечения прямых A_OA₂ и C_OC₂ лежат на одной прямой.

Задача 4: Имеется таблица 4 × 4, в каждой клетке которой стоит 0 или 1. Каждую минуту с ней проделывается следующая операция: для каждой клетки считается сумма чисел в соседних с ней по сторонам клетках и одновременно число в каждой клетке заменяется на 0, если соответствующая сумма четна, и на 1 - если нет. Докажите, что через 6 минут какая-нибудь расстановка повторится дважды.

Задача 5: Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P( – 1) = P(1). Докажите, что существуют такие многочлены A(x) и B(x) с целыми коэффициентами, что при всех целых x выполняется равенство: P(x) = A(x² – 1) + x(x² – 1)B(x² – 1).

Задача 6: На ребрах AB, BC, CD, DA параллелипипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ произвольно выбраны точки K, L, M и N. Докажите, что центры сфер, описанных около тетраэдров A₁AKN, B₁BKL, C₁CLM, D₁DMN являются вершинами параллелограмма.

Задача 7: Положительные числа a, b и c таковы, что ab + bc + ca ≤ 3abc. Докажите, что a + b + c ≤ a³ + b³ + c³.

Задача 8: На плоскости дан центрально-симметричный выпуклый многоугольник F. Докажите, что к нему можно приложить шесть многоугольников F₁, …, F₆, получаемых из F параллельными переносами так, что:

1) каждая из пар F и F₁, FиF₂, …, F и F₆ имеет общую точку и не перекрывается;

2) фигуры F₁, …, F₆ попарно не перекрываются.

Задача 9: Пусть A – множество, состоящее из N различных остатков по модулю N². Докажите, что существует множество B из N остатков по модулю N² такое, что множество A + B = a + b|a ∈ A,b ∈ B состоит по крайней мере из половины всех остатков по модулю N².

Задача 10: Найдите наибольшее действительное число  α , для которого существует бесконечная последовательность a₁, a₂, …, a_n натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

(a) для каждого натурального n a_n > 1999ⁿ;

(b) для каждого n ≥ 2 не превосходит наибольшего общего делителя множества чисел вида a_i + a_j, где i + j = n.